そこで、球面振子の運動について説明する（単振り子は、球面振子の運動の一つである）。球面振子は、長き
の軽いひもに質量
の重りを付けたものである。今、単振り子を静止点に対してある角度
で、ある初速度を与えて打ち出したとする。重りは糸でつながれているので、結局半径
の半球面内を摩擦がない状態で運動しているのと同じことになる。また
のとき、重りは半球面内を摩擦がない状態で運動しているのと同じことになる．まず、抵抗を受けない重りの動きを2つの成分に分けて考えてみる。
重りを持ち上げた点から静止点への方向を
、方向に対して直角方向を
とする。重りは、成分でも成分でも常に重力を受けているので、それにより静止点に向かって力を受けていることになる。その結果振動するのである。また、重りには重力と張力以外には力は働かないので、それらを合成しな運動は楕円運動になる。また、でないとき、空気抵抗がなければ楕円運動しても良きそうだが、実際にはそうではない。これは、この運動においてX成分とY成分の運動がcoupleしているためである。
従って、半球面内の球体の運動も、もし抵抗力がなけれは底の方だけでは同じように楕円運動しているはずである。
半球面内の球体の運動の任意の点について考える。任意の点の座標を（x・y・z）とおく。
半球面の中心をO（0．0）とする（図1）。また、球面内を運動する球体の質量を
，半径をrとする。摩擦のない面を滑らかに滑り落ちる場合を考える。重力による成分を図2のように分ける。中心軸OZ方向へ向かう力は
である．また、
，
である。従って、
と書くことができる。よって、
①
である。よって、
と比ペると
とともに小きくなるため減衰していくことが分かる。（斉藤、卒論、1991）
しかし、この式は、先にも述へたように、摩擦のない面を滑らかに滑り落ちる場合で
あって、実際は、球体は回転するためその効果も考えなくてはならない。運動エネルギー
全体としては、重心運動エネルギー
だけでなく、自転運動のエネルギー
（
は密度一定の球体の中心まわりの慣性モーメントで、
，また、
）との和に等しくなる。失った位置エネルギー
が、運動エネルギー
になるから、
従って、
これをtで微分すると
②
③
ここで、②③より
となる。 よって、
つまり、自転のエネルギーが加わることにより、①の5/7倍（71.4%）となり、①よりもかなり小き＜なることが分かる。
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